Resolver {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$12x+4y=6$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x=-4y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Egin \frac{1}{12} bider -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x+16y=8).

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Egin 9 bider -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Gehitu -3y eta 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=\frac{7}{26}$$

Ordeztu \frac{7}{26} y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{1}{3} bider \frac{7}{26}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -\frac{7}{78} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{16}{39}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 12 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Sinplifikatu.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Egin 108x+192y=96 ken 108x+36y=54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Gehitu 108x eta -108x. Sinplifikatu egiten dira 108x eta -108x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y-192y=54-96$$

Gehitu 36y eta -192y.

$$-156y=54-96$$

Gehitu 54 eta -96.

$$-156y=-42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -156 balioarekin.

$$y=\frac{7}{26}$$

Ordeztu \frac{7}{26} y balioarekin 9x+16y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Egin 16 bider \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Egin ken \frac{56}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{16}{39}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$