Resolver {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=-1$$

$$b=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$12a+4b=-4$$

Egin ken 4b ekuazioaren bi aldeetan.

$$12a=-4b-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

Egin \frac{1}{12} bider -4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-b-1}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (3a-9b=-21).

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

Egin 3 bider \frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

Gehitu -b eta -9b.

$$-10b-1=-21$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10b=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$b=2$$

Ordeztu 2 b balioarekin a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider 2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta -\frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-1,b=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-1,b=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a eta 3a berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 12 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

Sinplifikatu.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

Egin 36a-108b=-252 ken 36a+12b=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

Gehitu 36a eta -36a. Sinplifikatu egiten dira 36a eta -36a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12b+108b=-12+252$$

Gehitu 12b eta 108b.

$$120b=-12+252$$

Gehitu -12 eta 252.

$$120b=240$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$b=2$$

Ordeztu 2 b balioarekin 3a-9b=-21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$3a-9\times 2=-21$$

Egin -9 bider 2.

$$3a-18=-21$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-1,b=2$$