Resolver {l}{110b+218c=-93}{109b+227c=-99}

$$\left. \begin{array} { l } { 110 b + 218 c = - 93 } \\ { 109 b + 227 c = - 99 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: b, c

$$b=\frac{471}{1208}\approx 0.389900662$$

$$c=-\frac{753}{1208}\approx -0.623344371$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi b. Horretarako, isolatu b berdin ikurraren ezkerraldean.

$$110b+218c=-93$$

Egin ken 218c ekuazioaren bi aldeetan.

$$110b=-218c-93$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 110 balioarekin.

$$b=\frac{1}{110}\left(-218c-93\right)$$

Egin \frac{1}{110} bider -218c-93.

$$b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}$$

Ordeztu -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110} balioa b balioarekin beste ekuazioan (109b+227c=-99).

$$109\left(-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}\right)+227c=-99$$

Egin 109 bider -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110}.

$$-\frac{11881}{55}c-\frac{10137}{110}+227c=-99$$

Gehitu -\frac{11881c}{55} eta 227c.

$$\frac{604}{55}c-\frac{10137}{110}=-99$$

Gehitu \frac{10137}{110} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{604}{55}c=-\frac{753}{110}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{604}{55} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Ordeztu -\frac{753}{1208} c balioarekin b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$b=-\frac{109}{55}\left(-\frac{753}{1208}\right)-\frac{93}{110}$$

Egin -\frac{109}{55} bider -\frac{753}{1208}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$b=\frac{82077}{66440}-\frac{93}{110}$$

Gehitu -\frac{93}{110} eta \frac{82077}{66440} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$b=\frac{471}{1208}$$

Ebatzi da sistema.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{110\times 227-218\times 109}&-\frac{218}{110\times 227-218\times 109}\\-\frac{109}{110\times 227-218\times 109}&\frac{110}{110\times 227-218\times 109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}&-\frac{109}{604}\\-\frac{109}{1208}&\frac{55}{604}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}\left(-93\right)-\frac{109}{604}\left(-99\right)\\-\frac{109}{1208}\left(-93\right)+\frac{55}{604}\left(-99\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{471}{1208}\\-\frac{753}{1208}\end{matrix}\right)$$

Atera b eta c matrize-elementuak.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

110b eta 109b berdintzeko, biderkatu 109 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 110 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$109\times 110b+109\times 218c=109\left(-93\right),110\times 109b+110\times 227c=110\left(-99\right)$$

Sinplifikatu.

$$11990b+23762c=-10137,11990b+24970c=-10890$$

Egin 11990b+24970c=-10890 ken 11990b+23762c=-10137 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$11990b-11990b+23762c-24970c=-10137+10890$$

Gehitu 11990b eta -11990b. Sinplifikatu egiten dira 11990b eta -11990b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$23762c-24970c=-10137+10890$$

Gehitu 23762c eta -24970c.

$$-1208c=-10137+10890$$

Gehitu -10137 eta 10890.

$$-1208c=753$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1208 balioarekin.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Ordeztu -\frac{753}{1208} c balioarekin 109b+227c=-99 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$109b+227\left(-\frac{753}{1208}\right)=-99$$

Egin 227 bider -\frac{753}{1208}.

$$109b-\frac{170931}{1208}=-99$$

Gehitu \frac{170931}{1208} ekuazioaren bi aldeetan.

$$109b=\frac{51339}{1208}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 109 balioarekin.

$$b=\frac{471}{1208}$$

Ebatzi da sistema.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$