Resolver {l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x+4y=-12$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=-4y-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -4y-12.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Ordeztu \frac{-2y-6}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x-5y=1).

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

Egin -9 bider \frac{-2y-6}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

Gehitu \frac{18y}{5} eta -5y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

Egin ken \frac{54}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

Egin -\frac{2}{5} bider 7.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

Gehitu -\frac{6}{5} eta -\frac{14}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

10x eta -9x berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

Sinplifikatu.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

Egin -90x-50y=10 ken -90x-36y=108 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

Gehitu -90x eta 90x. Sinplifikatu egiten dira -90x eta 90x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-36y+50y=108-10$$

Gehitu -36y eta 50y.

$$14y=108-10$$

Gehitu 108 eta -10.

$$14y=98$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin -9x-5y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9x-5\times 7=1$$

Egin -5 bider 7.

$$-9x-35=1$$

Gehitu 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=7$$