Resolver {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=-25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x+2y=50$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=-2y+50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -2y+50.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

Ordeztu -\frac{y}{5}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+2y=20).

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

Egin 7 bider -\frac{y}{5}+5.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

Gehitu -\frac{7y}{5} eta 2y.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

Egin ken 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-25$$

Ordeztu -25 y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

Egin -\frac{1}{5} bider -25.

$$x=5+5$$

Gehitu 5 eta 5.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-25$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=-25$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Egin 7x+2y=20 ken 10x+2y=50 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10x-7x=50-20$$

Gehitu 10x eta -7x.

$$3x=50-20$$

Gehitu 50 eta -20.

$$3x=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin 7x+2y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$7\times 10+2y=20$$

Egin 7 bider 10.

$$70+2y=20$$

Egin ken 70 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-25$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-25$$