Resolver {l}{1x-3y=1}{3y+x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x - 3 y = 1 } \\ { 3 y + x = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-3y=1$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3y+1$$

Ordeztu 3y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=2).

$$3y+1+3y=2$$

Gehitu 3y eta 3y.

$$6y+1=2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=\frac{1}{6}$$

Ordeztu \frac{1}{6} y balioarekin x=3y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\times \frac{1}{6}+1$$

Egin 3 bider \frac{1}{6}.

$$x=\frac{1}{2}+1$$

Gehitu 1 eta \frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Egin x+3y=2 ken x-3y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-3y-3y=1-2$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-3y=1-2$$

Gehitu -3y eta -3y.

$$-6y=1-2$$

Gehitu 1 eta -2.

$$-6y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=\frac{1}{6}$$

Ordeztu \frac{1}{6} y balioarekin x+3y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3\times \frac{1}{6}=2$$

Egin 3 bider \frac{1}{6}.

$$x+\frac{1}{2}=2$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$