Resolver {l}{1x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=280$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+280$$

Ordeztu -4y+280 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=124).

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

Egin 4 bider -4y+280.

$$-16y+1120+y=124$$

Gehitu -16y eta y.

$$-15y+1120=124$$

Egin ken 1120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=-996$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=\frac{332}{5}$$

Ordeztu \frac{332}{5} y balioarekin x=-4y+280 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

Egin -4 bider \frac{332}{5}.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

Gehitu 280 eta -\frac{1328}{5}.

$$x=\frac{72}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

Sinplifikatu.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

Egin 4x+y=124 ken 4x+16y=1120 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y-y=1120-124$$

Gehitu 16y eta -y.

$$15y=1120-124$$

Gehitu 1120 eta -124.

$$15y=996$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=\frac{332}{5}$$

Ordeztu \frac{332}{5} y balioarekin 4x+y=124 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

Egin ken \frac{332}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{288}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{72}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$