Resolver {l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: c, V

$$c=9000$$

$$V=7500$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi c. Horretarako, isolatu c berdin ikurraren ezkerraldean.

$$c+V=16500$$

Egin ken V ekuazioaren bi aldeetan.

$$c=-V+16500$$

Ordeztu -V+16500 balioa c balioarekin beste ekuazioan (2c+3V=40500).

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

Egin 2 bider -V+16500.

$$-2V+33000+3V=40500$$

Gehitu -2V eta 3V.

$$V+33000=40500$$

Egin ken 33000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$V=7500$$

Ordeztu 7500 V balioarekin c=-V+16500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$c=-7500+16500$$

Gehitu 16500 eta -7500.

$$c=9000$$

Ebatzi da sistema.

$$c=9000,V=7500$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

Atera c eta V matrize-elementuak.

$$c=9000,V=7500$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

c eta 2c berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

Sinplifikatu.

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

Egin 2c+3V=40500 ken 2c+2V=33000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

Gehitu 2c eta -2c. Sinplifikatu egiten dira 2c eta -2c. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2V-3V=33000-40500$$

Gehitu 2V eta -3V.

$$-V=33000-40500$$

Gehitu 33000 eta -40500.

$$-V=-7500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$V=7500$$

Ordeztu 7500 V balioarekin 2c+3V=40500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$2c+3\times 7500=40500$$

Egin 3 bider 7500.

$$2c+22500=40500$$

Egin ken 22500 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2c=18000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$c=9000$$

Ebatzi da sistema.

$$c=9000,V=7500$$