Resolver {l}{0.55x-y=-4.1}{0.4y=2.8x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.55 x - y = - 4.1 } \\ { 0.4 y = 2.8 x + 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{106}{43} = -2\frac{20}{43} \approx -2.465116279$$

$$y = \frac{118}{43} = 2\frac{32}{43} \approx 2.744186047$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2.8x bi aldeetatik.

$$0.4y-2.8x=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.55x-y=-4.1,-2.8x+0.4y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.55x-y=-4.1$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.55x=y-4.1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.55 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{20}{11}\left(y-4.1\right)$$

Egin \frac{20}{11} bider y-4.1.

$$x=\frac{20}{11}y-\frac{82}{11}$$

Ordeztu \frac{20y-82}{11} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2.8x+0.4y=8).

$$-2.8\left(\frac{20}{11}y-\frac{82}{11}\right)+0.4y=8$$

Egin -2.8 bider \frac{20y-82}{11}.

$$-\frac{56}{11}y+\frac{1148}{55}+0.4y=8$$

Gehitu -\frac{56y}{11} eta \frac{2y}{5}.

$$-\frac{258}{55}y+\frac{1148}{55}=8$$

Egin ken \frac{1148}{55} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{258}{55}y=-\frac{708}{55}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{258}{55} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{118}{43}$$

Ordeztu \frac{118}{43} y balioarekin x=\frac{20}{11}y-\frac{82}{11} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{20}{11}\times \frac{118}{43}-\frac{82}{11}$$

Egin \frac{20}{11} bider \frac{118}{43}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{2360}{473}-\frac{82}{11}$$

Gehitu -\frac{82}{11} eta \frac{2360}{473} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{106}{43}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{106}{43},y=\frac{118}{43}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2.8x bi aldeetatik.

$$0.4y-2.8x=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.55x-y=-4.1,-2.8x+0.4y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.55&-1\\-2.8&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4.1\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.55&-1\\-2.8&0.4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.55&-1\\-2.8&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.55&-1\\-2.8&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.55&-1\\-2.8&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4.1\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.55&-1\\-2.8&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4.1\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.55&-1\\-2.8&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4.1\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.55\times 0.4-\left(-\left(-2.8\right)\right)}&-\frac{-1}{0.55\times 0.4-\left(-\left(-2.8\right)\right)}\\-\frac{-2.8}{0.55\times 0.4-\left(-\left(-2.8\right)\right)}&\frac{0.55}{0.55\times 0.4-\left(-\left(-2.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4.1\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{129}&-\frac{50}{129}\\-\frac{140}{129}&-\frac{55}{258}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4.1\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{129}\left(-4.1\right)-\frac{50}{129}\times 8\\-\frac{140}{129}\left(-4.1\right)-\frac{55}{258}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{106}{43}\\\frac{118}{43}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{106}{43},y=\frac{118}{43}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2.8x bi aldeetatik.

$$0.4y-2.8x=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.55x-y=-4.1,-2.8x+0.4y=8$$

\frac{11x}{20} eta -\frac{14x}{5} berdintzeko, biderkatu -2.8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.55 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2.8\times 0.55x-2.8\left(-1\right)y=-2.8\left(-4.1\right),0.55\left(-2.8\right)x+0.55\times 0.4y=0.55\times 8$$

Sinplifikatu.

$$-1.54x+2.8y=11.48,-1.54x+0.22y=4.4$$

Egin -1.54x+0.22y=4.4 ken -1.54x+2.8y=11.48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-1.54x+1.54x+2.8y-0.22y=11.48-4.4$$

Gehitu -\frac{77x}{50} eta \frac{77x}{50}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{77x}{50} eta \frac{77x}{50}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2.8y-0.22y=11.48-4.4$$

Gehitu \frac{14y}{5} eta -\frac{11y}{50}.

$$2.58y=11.48-4.4$$

Gehitu 11.48 eta -4.4 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$2.58y=7.08$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.58 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{118}{43}$$

Ordeztu \frac{118}{43} y balioarekin -2.8x+0.4y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2.8x+0.4\times \frac{118}{43}=8$$

Egin 0.4 bider \frac{118}{43}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-2.8x+\frac{236}{215}=8$$

Egin ken \frac{236}{215} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2.8x=\frac{1484}{215}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2.8 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{106}{43}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{106}{43},y=\frac{118}{43}$$