Resolver {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.5x+y=9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.5x=-y+9$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

Egin 2 bider -y+9.

$$x=-2y+18$$

Ordeztu -2y+18 balioa x balioarekin beste ekuazioan (1.6x+0.2y=13).

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

Egin 1.6 bider -2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

Gehitu -\frac{16y}{5} eta \frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

Egin ken 28.8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-15.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{79}{15}$$

Ordeztu \frac{79}{15} y balioarekin x=-2y+18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

Egin -2 bider \frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

Gehitu 18 eta -\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{x}{2} eta \frac{8x}{5} berdintzeko, biderkatu 1.6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

Sinplifikatu.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

Egin 0.8x+0.1y=6.5 ken 0.8x+1.6y=14.4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Gehitu \frac{4x}{5} eta -\frac{4x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{4x}{5} eta -\frac{4x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Gehitu \frac{8y}{5} eta -\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

Gehitu 14.4 eta -6.5 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$1.5y=7.9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{79}{15}$$

Ordeztu \frac{79}{15} y balioarekin 1.6x+0.2y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

Egin 0.2 bider \frac{79}{15}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

Egin ken \frac{79}{75} ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{112}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$