Resolver {l}{0.4x+0.6y=132}{x+y=240}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = 132 } \\ { x + y = 240 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=60$$

$$y=180$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.4x+0.6y=132$$

Egin ken \frac{3y}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.4x=-0.6y+132$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=2.5\left(-0.6y+132\right)$$

Egin 2.5 bider -\frac{3y}{5}+132.

$$x=-1.5y+330$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+330 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=240).

$$-1.5y+330+y=240$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta y.

$$-0.5y+330=240$$

Egin ken 330 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.5y=-90$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=180$$

Ordeztu 180 y balioarekin x=-1.5y+330 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-1.5\times 180+330$$

Egin -1.5 bider 180.

$$x=-270+330$$

Gehitu 330 eta -270.

$$x=60$$

Ebatzi da sistema.

$$x=60,y=180$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.4-0.6}&-\frac{0.6}{0.4-0.6}\\-\frac{1}{0.4-0.6}&\frac{0.4}{0.4-0.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 132+3\times 240\\5\times 132-2\times 240\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\180\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=60,y=180$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

\frac{2x}{5} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=0.4\times 240$$

Sinplifikatu.

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=96$$

Egin 0.4x+0.4y=96 ken 0.4x+0.6y=132 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.4x-0.4x+0.6y-0.4y=132-96$$

Gehitu \frac{2x}{5} eta -\frac{2x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{2x}{5} eta -\frac{2x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.6y-0.4y=132-96$$

Gehitu \frac{3y}{5} eta -\frac{2y}{5}.

$$0.2y=132-96$$

Gehitu 132 eta -96.

$$0.2y=36$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=180$$

Ordeztu 180 y balioarekin x+y=240 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+180=240$$

Egin ken 180 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=60$$

Ebatzi da sistema.

$$x=60,y=180$$