Resolver {l}{0.4x+0.6y=-760}{-0.8x-0.3y=800}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = - 760 } \\ { - 0.8 x - 0.3 y = 800 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-700$$

$$y=-800$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.4x+0.6y=-760$$

Egin ken \frac{3y}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.4x=-0.6y-760$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=2.5\left(-0.6y-760\right)$$

Egin 2.5 bider -\frac{3y}{5}-760.

$$x=-1.5y-1900$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}-1900 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-0.8x-0.3y=800).

$$-0.8\left(-1.5y-1900\right)-0.3y=800$$

Egin -0.8 bider -\frac{3y}{2}-1900.

$$1.2y+1520-0.3y=800$$

Gehitu \frac{6y}{5} eta -\frac{3y}{10}.

$$0.9y+1520=800$$

Egin ken 1520 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.9y=-720$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.9 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-800$$

Ordeztu -800 y balioarekin x=-1.5y-1900 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-1.5\left(-800\right)-1900$$

Egin -1.5 bider -800.

$$x=1200-1900$$

Gehitu -1900 eta 1200.

$$x=-700$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-700,y=-800$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&-\frac{0.6}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\\-\frac{-0.8}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{20}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}\left(-760\right)-\frac{5}{3}\times 800\\\frac{20}{9}\left(-760\right)+\frac{10}{9}\times 800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-700\\-800\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-700,y=-800$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

\frac{2x}{5} eta -\frac{4x}{5} berdintzeko, biderkatu -0.8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-0.8\times 0.4x-0.8\times 0.6y=-0.8\left(-760\right),0.4\left(-0.8\right)x+0.4\left(-0.3\right)y=0.4\times 800$$

Sinplifikatu.

$$-0.32x-0.48y=608,-0.32x-0.12y=320$$

Egin -0.32x-0.12y=320 ken -0.32x-0.48y=608 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-0.32x+0.32x-0.48y+0.12y=608-320$$

Gehitu -\frac{8x}{25} eta \frac{8x}{25}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{8x}{25} eta \frac{8x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.48y+0.12y=608-320$$

Gehitu -\frac{12y}{25} eta \frac{3y}{25}.

$$-0.36y=608-320$$

Gehitu 608 eta -320.

$$-0.36y=288$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.36 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-800$$

Ordeztu -800 y balioarekin -0.8x-0.3y=800 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-0.8x-0.3\left(-800\right)=800$$

Egin -0.3 bider -800.

$$-0.8x+240=800$$

Egin ken 240 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.8x=560$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.8 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-700$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-700,y=-800$$