Resolver {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x_3, x_2

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x_{3}. Horretarako, isolatu x_{3} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

Egin ken \frac{4x_{2}}{25} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.041 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

Egin \frac{1000}{41} bider -\frac{4x_{2}}{25}+0.9.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

Ordeztu \frac{-160x_{2}+900}{41} balioa x_{3} balioarekin beste ekuazioan (-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117).

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

Egin -0.002 bider \frac{-160x_{2}+900}{41}.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

Gehitu \frac{8x_{2}}{1025} eta \frac{41x_{2}}{1000}.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

Gehitu \frac{9}{205} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2001}{41000} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Ordeztu \frac{2199}{667} x_{2} balioarekin x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{3} ebatz dezakezu zuzenean.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

Egin -\frac{160}{41} bider \frac{2199}{667}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

Gehitu \frac{900}{41} eta -\frac{351840}{27347} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

Atera x_{3} eta x_{2} matrize-elementuak.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000} eta -\frac{x_{3}}{500} berdintzeko, biderkatu -0.002 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.041 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

Sinplifikatu.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

Egin -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 ken -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Gehitu -\frac{41x_{3}}{500000} eta \frac{41x_{3}}{500000}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{41x_{3}}{500000} eta \frac{41x_{3}}{500000}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Gehitu -\frac{x_{2}}{3125} eta -\frac{1681x_{2}}{1000000}.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Gehitu -0.0018 eta -0.004797 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.002001 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Ordeztu \frac{2199}{667} x_{2} balioarekin -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{3} ebatz dezakezu zuzenean.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

Egin 0.041 bider \frac{2199}{667}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

Egin ken \frac{90159}{667000} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -500 balioarekin.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$