Resolver {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=100$$

$$y=50$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.04x+0.02y=5$$

Egin ken \frac{y}{50} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.04x=-0.02y+5$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

Egin 25 bider -\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+125 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.5\left(x-2\right)-0.4y=29).

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

Gehitu 125 eta -2.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

Egin 0.5 bider -\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

Gehitu -\frac{y}{4} eta -\frac{2y}{5}.

$$-0.65y+61.5=29$$

Egin ken 61.5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.65y=-32.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.65 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=50$$

Ordeztu 50 y balioarekin x=-0.5y+125 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-0.5\times 50+125$$

Egin -0.5 bider 50.

$$x=-25+125$$

Gehitu 125 eta -25.

$$x=100$$

Ebatzi da sistema.

$$x=100,y=50$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Sinplifikatu bigarren ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Egin 0.5 bider x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.5x-0.4y=30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=100,y=50$$