Resolver {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

Ebatzi: b, c

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Kendu \frac{1}{3} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3+3b+c=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3b+c=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi b. Horretarako, isolatu b berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Egin ken c ekuazioaren bi aldeetan.

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

Egin -1 bider -c-\frac{1}{3}.

$$b=c+\frac{1}{3}$$

Ordeztu c+\frac{1}{3} balioa b balioarekin beste ekuazioan (3b+c=-3).

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

Egin 3 bider c+\frac{1}{3}.

$$3c+1+c=-3$$

Gehitu 3c eta c.

$$4c+1=-3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4c=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$c=-1$$

Ordeztu -1 c balioarekin b=c+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta -1.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Kendu \frac{1}{3} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3+3b+c=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3b+c=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera b eta c matrize-elementuak.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Kendu \frac{1}{3} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3+3b+c=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3b+c=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Egin 3b+c=-3 ken -b+c=-\frac{1}{3} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

Gehitu c eta -c. Sinplifikatu egiten dira c eta -c. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

Gehitu -b eta -3b.

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta 3.

$$-4b=\frac{8}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{2}{3} b balioarekin 3b+c=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

Egin 3 bider -\frac{2}{3}.

$$-2+c=-3$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$c=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$