Resolver {l}{-x-6y=-16}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 6 y = - 16 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-6y=-16$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=6y-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(6y-16\right)$$

Egin -1 bider 6y-16.

$$x=-6y+16$$

Ordeztu -6y+16 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y=18).

$$5\left(-6y+16\right)-y=18$$

Egin 5 bider -6y+16.

$$-30y+80-y=18$$

Gehitu -30y eta -y.

$$-31y+80=18$$

Egin ken 80 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-31y=-62$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -31 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-6y+16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6\times 2+16$$

Egin -6 bider 2.

$$x=-12+16$$

Gehitu 16 eta -12.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}&\frac{6}{31}\\-\frac{5}{31}&-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}\left(-16\right)+\frac{6}{31}\times 18\\-\frac{5}{31}\left(-16\right)-\frac{1}{31}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

-x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\left(-1\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-16\right),-5x-\left(-y\right)=-18$$

Sinplifikatu.

$$-5x-30y=-80,-5x+y=-18$$

Egin -5x+y=-18 ken -5x-30y=-80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5x+5x-30y-y=-80+18$$

Gehitu -5x eta 5x. Sinplifikatu egiten dira -5x eta 5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30y-y=-80+18$$

Gehitu -30y eta -y.

$$-31y=-80+18$$

Gehitu -80 eta 18.

$$-31y=-62$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -31 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 5x-y=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-2=18$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$