Resolver {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-5y=11$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=5y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

Egin -1 bider 5y+11.

$$x=-5y-11$$

Ordeztu -5y-11 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=9).

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

Egin 2 bider -5y-11.

$$-10y-22+y=9$$

Gehitu -10y eta y.

$$-9y-22=9$$

Gehitu 22 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=31$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Ordeztu -\frac{31}{9} y balioarekin x=-5y-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

Egin -5 bider -\frac{31}{9}.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

Gehitu -11 eta \frac{155}{9}.

$$x=\frac{56}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

-x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

Sinplifikatu.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

Egin -2x-y=-9 ken -2x-10y=22 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y+y=22+9$$

Gehitu -10y eta y.

$$-9y=22+9$$

Gehitu 22 eta 9.

$$-9y=31$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Ordeztu -\frac{31}{9} y balioarekin 2x+y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

Gehitu \frac{31}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{112}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{56}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$