Resolver {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-3y=6$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=3y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(3y+6\right)$$

Egin -1 bider 6+3y.

$$x=-3y-6$$

Ordeztu -3y-6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=3).

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

Egin 2 bider -3y-6.

$$-6y-12+3y=3$$

Gehitu -6y eta 3y.

$$-3y-12=3$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin x=-3y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

Egin -3 bider -5.

$$x=15-6$$

Gehitu -6 eta 15.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=-5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

-x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

Sinplifikatu.

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

Egin -2x-3y=-3 ken -2x-6y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+3y=12+3$$

Gehitu -6y eta 3y.

$$-3y=12+3$$

Gehitu 12 eta 3.

$$-3y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin 2x+3y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

Egin 3 bider -5.

$$2x-15=3$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-5$$