Resolver {l}{-x-2y=9}{3x-2y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-2y=9$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=2y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

Egin -1 bider 2y+9.

$$x=-2y-9$$

Ordeztu -2y-9 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=21).

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

Egin 3 bider -2y-9.

$$-6y-27-2y=21$$

Gehitu -6y eta -2y.

$$-8y-27=21$$

Gehitu 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=-2y-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

Egin -2 bider -6.

$$x=12-9$$

Gehitu -9 eta 12.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Egin 3x-2y=21 ken -x-2y=9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x-3x=9-21$$

Gehitu -x eta -3x.

$$-4x=9-21$$

Gehitu 9 eta -21.

$$-4x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin 3x-2y=21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\times 3-2y=21$$

Egin 3 bider 3.

$$9-2y=21$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-6$$