Resolver {l}{-x-2y=4}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 4 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-2y=4$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=2y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(2y+4\right)$$

Egin -1 bider 4+2y.

$$x=-2y-4$$

Ordeztu -2y-4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=2).

$$3\left(-2y-4\right)-y=2$$

Egin 3 bider -2y-4.

$$-6y-12-y=2$$

Gehitu -6y eta -y.

$$-7y-12=2$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-2y-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-2\right)-4$$

Egin -2 bider -2.

$$x=4-4$$

Gehitu -4 eta 4.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 4+\frac{2}{7}\times 2\\-\frac{3}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

-x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 4,-3x-\left(-y\right)=-2$$

Sinplifikatu.

$$-3x-6y=12,-3x+y=-2$$

Egin -3x+y=-2 ken -3x-6y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x-6y-y=12+2$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y-y=12+2$$

Gehitu -6y eta -y.

$$-7y=12+2$$

Gehitu 12 eta 2.

$$-7y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 3x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-\left(-2\right)=2$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-2$$