Resolver {l}{-x-2y=-7}{2x+2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 7 } \\ { 2 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-2y=-7$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=2y-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(2y-7\right)$$

Egin -1 bider 2y-7.

$$x=-2y+7$$

Ordeztu -2y+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2y=16).

$$2\left(-2y+7\right)+2y=16$$

Egin 2 bider -2y+7.

$$-4y+14+2y=16$$

Gehitu -4y eta 2y.

$$-2y+14=16$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-2y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-1\right)+7$$

Egin -2 bider -1.

$$x=2+7$$

Gehitu 7 eta 2.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+16\\-\left(-7\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

-x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-2\right)y=2\left(-7\right),-2x-2y=-16$$

Sinplifikatu.

$$-2x-4y=-14,-2x-2y=-16$$

Egin -2x-2y=-16 ken -2x-4y=-14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-4y+2y=-14+16$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+2y=-14+16$$

Gehitu -4y eta 2y.

$$-2y=-14+16$$

Gehitu -14 eta 16.

$$-2y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 2x+2y=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+2\left(-1\right)=16$$

Egin 2 bider -1.

$$2x-2=16$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-1$$