Resolver {l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-9$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+2y=17$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-2y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

Egin -1 bider -2y+17.

$$x=2y-17$$

Ordeztu 2y-17 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2y=-10).

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

Egin 2 bider 2y-17.

$$4y-34+2y=-10$$

Gehitu 4y eta 2y.

$$6y-34=-10$$

Gehitu 34 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=2y-17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times 4-17$$

Egin 2 bider 4.

$$x=8-17$$

Gehitu -17 eta 8.

$$x=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-9,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Egin 2x+2y=-10 ken -x+2y=17 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x-2x=17+10$$

Gehitu -x eta -2x.

$$-3x=17+10$$

Gehitu 17 eta 10.

$$-3x=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-9$$

Ordeztu -9 x balioarekin 2x+2y=-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

Egin 2 bider -9.

$$-18+2y=-10$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=4$$