Resolver {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

Egin ken \frac{3y}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

Egin -1 bider -\frac{3y}{4}+7.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

Ordeztu \frac{3y}{4}-7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-y=-16).

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

Egin 4 bider \frac{3y}{4}-7.

$$3y-28-y=-16$$

Gehitu 3y eta -y.

$$2y-28=-16$$

Gehitu 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=\frac{3}{4}y-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

Egin \frac{3}{4} bider 6.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

Gehitu -7 eta \frac{9}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

-x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

Sinplifikatu.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

Egin -4x+y=16 ken -4x+3y=28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-y=28-16$$

Gehitu 3y eta -y.

$$2y=28-16$$

Gehitu 28 eta -16.

$$2y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 4x-y=-16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-6=-16$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$