Resolver {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-9x-y=-3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

Egin -\frac{1}{9} bider y-3.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-8x+2y=-20).

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

Egin -8 bider -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

Gehitu \frac{8y}{9} eta 2y.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

Gehitu \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{26}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{1}{9} bider -6.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

-9x eta -8x berdintzeko, biderkatu -8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

Sinplifikatu.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

Egin 72x-18y=180 ken 72x+8y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

Gehitu 72x eta -72x. Sinplifikatu egiten dira 72x eta -72x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y+18y=24-180$$

Gehitu 8y eta 18y.

$$26y=24-180$$

Gehitu 24 eta -180.

$$26y=-156$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin -8x+2y=-20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

Egin 2 bider -6.

$$-8x-12=-20$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-6$$