Resolver {l}{-9x-y=-14}{-x-5y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 14 } \\ { - x - 5 y = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-9x-y=-14$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=y-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-14\right)$$

Egin -\frac{1}{9} bider y-14.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}$$

Ordeztu \frac{-y+14}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x-5y=18).

$$-\left(-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}\right)-5y=18$$

Egin -1 bider \frac{-y+14}{9}.

$$\frac{1}{9}y-\frac{14}{9}-5y=18$$

Gehitu \frac{y}{9} eta -5y.

$$-\frac{44}{9}y-\frac{14}{9}=18$$

Gehitu \frac{14}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{44}{9}y=\frac{176}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{44}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-4\right)+\frac{14}{9}$$

Egin -\frac{1}{9} bider -4.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

Gehitu \frac{14}{9} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&-\frac{9}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}\left(-14\right)+\frac{1}{44}\times 18\\\frac{1}{44}\left(-14\right)-\frac{9}{44}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

-9x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\left(-9\right)x-\left(-y\right)=-\left(-14\right),-9\left(-1\right)x-9\left(-5\right)y=-9\times 18$$

Sinplifikatu.

$$9x+y=14,9x+45y=-162$$

Egin 9x+45y=-162 ken 9x+y=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9x-9x+y-45y=14+162$$

Gehitu 9x eta -9x. Sinplifikatu egiten dira 9x eta -9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-45y=14+162$$

Gehitu y eta -45y.

$$-44y=14+162$$

Gehitu 14 eta 162.

$$-44y=176$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -44 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -x-5y=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x-5\left(-4\right)=18$$

Egin -5 bider -4.

$$-x+20=18$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$