Resolver {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-9x-7y=17$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=7y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

Egin -\frac{1}{9} bider 7y+17.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

Ordeztu \frac{-7y-17}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (10x+7y=-15).

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

Egin 10 bider \frac{-7y-17}{9}.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

Gehitu -\frac{70y}{9} eta 7y.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

Gehitu \frac{170}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

Egin -\frac{7}{9} bider -5.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

Gehitu -\frac{17}{9} eta \frac{35}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

-9x eta 10x berdintzeko, biderkatu 10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

Sinplifikatu.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

Egin -90x-63y=135 ken -90x-70y=170 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

Gehitu -90x eta 90x. Sinplifikatu egiten dira -90x eta 90x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-70y+63y=170-135$$

Gehitu -70y eta 63y.

$$-7y=170-135$$

Gehitu 170 eta -135.

$$-7y=35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin 10x+7y=-15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

Egin 7 bider -5.

$$10x-35=-15$$

Gehitu 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-5$$