Resolver {l}{-9x-6y=6}{3x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 6 y = 6 } \\ { 3 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-9x-6y=6$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=6y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{9}\left(6y+6\right)$$

Egin -\frac{1}{9} bider 6+6y.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y-2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-6y=-18).

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}\right)-6y=-18$$

Egin 3 bider \frac{-2y-2}{3}.

$$-2y-2-6y=-18$$

Gehitu -2y eta -6y.

$$-8y-2=-18$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider 2.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

Gehitu -\frac{2}{3} eta -\frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{9}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6+\frac{1}{12}\left(-18\right)\\-\frac{1}{24}\times 6-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Egin 3x-6y=-18 ken -9x-6y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-9x-3x-6y+6y=6+18$$

Gehitu -6y eta 6y. Sinplifikatu egiten dira -6y eta 6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9x-3x=6+18$$

Gehitu -9x eta -3x.

$$-12x=6+18$$

Gehitu 6 eta 18.

$$-12x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$x=-2$$

Ordeztu -2 x balioarekin 3x-6y=-18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\left(-2\right)-6y=-18$$

Egin 3 bider -2.

$$-6-6y=-18$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=2$$