Resolver {l}{-9x+7y=-3}{4x-7y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 7 y = - 3 } \\ { 4 x - 7 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = \frac{48}{35} = 1\frac{13}{35} \approx 1.371428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-9x+7y=-3,4x-7y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-9x+7y=-3$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=-7y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-7y-3\right)$$

Egin -\frac{1}{9} bider -7y-3.

$$x=\frac{7}{9}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{7y}{9}+\frac{1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-7y=-4).

$$4\left(\frac{7}{9}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-4$$

Egin 4 bider \frac{7y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{28}{9}y+\frac{4}{3}-7y=-4$$

Gehitu \frac{28y}{9} eta -7y.

$$-\frac{35}{9}y+\frac{4}{3}=-4$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{35}{9}y=-\frac{16}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{35}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{48}{35}$$

Ordeztu \frac{48}{35} y balioarekin x=\frac{7}{9}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{9}\times \frac{48}{35}+\frac{1}{3}$$

Egin \frac{7}{9} bider \frac{48}{35}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{16}{15}+\frac{1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{16}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{48}{35}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-9x+7y=-3,4x-7y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-9&7\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-9&7\\4&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&7\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-9\left(-7\right)-7\times 4}&-\frac{7}{-9\left(-7\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{-9\left(-7\right)-7\times 4}&-\frac{9}{-9\left(-7\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{4}{35}&-\frac{9}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\left(-4\right)\\-\frac{4}{35}\left(-3\right)-\frac{9}{35}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\\frac{48}{35}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{48}{35}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-9x+7y=-3,4x-7y=-4$$

-9x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-9\right)x+4\times 7y=4\left(-3\right),-9\times 4x-9\left(-7\right)y=-9\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$-36x+28y=-12,-36x+63y=36$$

Egin -36x+63y=36 ken -36x+28y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-36x+36x+28y-63y=-12-36$$

Gehitu -36x eta 36x. Sinplifikatu egiten dira -36x eta 36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$28y-63y=-12-36$$

Gehitu 28y eta -63y.

$$-35y=-12-36$$

Gehitu -12 eta -36.

$$-35y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -35 balioarekin.

$$y=\frac{48}{35}$$

Ordeztu \frac{48}{35} y balioarekin 4x-7y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-7\times \frac{48}{35}=-4$$

Egin -7 bider \frac{48}{35}.

$$4x-\frac{48}{5}=-4$$

Gehitu \frac{48}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{28}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{48}{35}$$