Resolver {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-9x+6y=13$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=-6y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

Egin -\frac{1}{9} bider -6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

Ordeztu \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (cx+8y=-12).

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

Egin c bider \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

Gehitu \frac{2cy}{3} eta 8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Gehitu \frac{13c}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2c}{3}+8 balioarekin.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Ordeztu \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} y balioarekin x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Egin \frac{2}{3} bider \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Gehitu -\frac{13}{9} eta \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x eta cx berdintzeko, biderkatu c balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Sinplifikatu.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

Egin \left(-9c\right)x-72y=108 ken \left(-9c\right)x+6cy=13c berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

Gehitu -9cx eta 9cx. Sinplifikatu egiten dira -9cx eta 9cx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6cy+72y=13c-108$$

Gehitu 6cy eta 72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 72+6c balioarekin.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Ordeztu \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} y balioarekin cx+8y=-12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

Egin 8 bider \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

Egin ken \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} ekuazioaren bi aldeetan.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak c balioarekin.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$