Resolver {l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-8x-6y=30$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=6y+30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

Egin -\frac{1}{8} bider 30+6y.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y-15}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-6x+2y=-10).

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

Egin -6 bider \frac{-3y-15}{4}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta 2y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

Egin ken \frac{45}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider -5.

$$x=\frac{15-15}{4}$$

Gehitu -\frac{15}{4} eta \frac{15}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=-5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

-8x eta -6x berdintzeko, biderkatu -6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

Sinplifikatu.

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

Egin 48x-16y=80 ken 48x+36y=-180 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

Gehitu 48x eta -48x. Sinplifikatu egiten dira 48x eta -48x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y+16y=-180-80$$

Gehitu 36y eta 16y.

$$52y=-180-80$$

Gehitu -180 eta -80.

$$52y=-260$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 52 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin -6x+2y=-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

Egin 2 bider -5.

$$-6x-10=-10$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-5$$