Resolver {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-8x+7y=13$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=-7y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

Egin -\frac{1}{8} bider -7y+13.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

Ordeztu \frac{7y-13}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-9y=-20).

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

Egin 7 bider \frac{7y-13}{8}.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

Gehitu \frac{49y}{8} eta -9y.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

Gehitu \frac{91}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{23}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

Egin \frac{7}{8} bider 3.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

Gehitu -\frac{13}{8} eta \frac{21}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

-8x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

Sinplifikatu.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

Egin -56x+72y=160 ken -56x+49y=91 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

Gehitu -56x eta 56x. Sinplifikatu egiten dira -56x eta 56x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$49y-72y=91-160$$

Gehitu 49y eta -72y.

$$-23y=91-160$$

Gehitu 91 eta -160.

$$-23y=-69$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -23 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 7x-9y=-20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-9\times 3=-20$$

Egin -9 bider 3.

$$7x-27=-20$$

Gehitu 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$