Resolver {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-8x+7y=-9$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=-7y-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

Egin -\frac{1}{8} bider -7y-9.

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

Ordeztu \frac{7y+9}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x+7y=-18).

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

Egin -9 bider \frac{7y+9}{8}.

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

Gehitu -\frac{63y}{8} eta 7y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

Gehitu \frac{81}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

Egin \frac{7}{8} bider 9.

$$x=\frac{63+9}{8}$$

Gehitu \frac{9}{8} eta \frac{63}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Egin -9x+7y=-18 ken -8x+7y=-9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

Gehitu 7y eta -7y. Sinplifikatu egiten dira 7y eta -7y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8x+9x=-9+18$$

Gehitu -8x eta 9x.

$$x=-9+18$$

Gehitu -9 eta 18.

$$x=9$$

Ordeztu 9 x balioarekin -9x+7y=-18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9\times 9+7y=-18$$

Egin -9 bider 9.

$$-81+7y=-18$$

Gehitu 81 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=63$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=9$$