Resolver {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-8x+4y=8$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=-4y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

Egin -\frac{1}{8} bider -4y+8.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Ordeztu \frac{y}{2}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x-y=16).

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

Egin 8 bider \frac{y}{2}-1.

$$4y-8-y=16$$

Gehitu 4y eta -y.

$$3y-8=16$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=\frac{1}{2}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

Egin \frac{1}{2} bider 8.

$$x=4-1$$

Gehitu -1 eta 4.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

-8x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

Sinplifikatu.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

Egin -64x+8y=-128 ken -64x+32y=64 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

Gehitu -64x eta 64x. Sinplifikatu egiten dira -64x eta 64x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$32y-8y=64+128$$

Gehitu 32y eta -8y.

$$24y=64+128$$

Gehitu 64 eta 128.

$$24y=192$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin 8x-y=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x-8=16$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=8$$