Resolver {l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-7x-8y=-2$$

Gehitu 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=8y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

Egin -\frac{1}{7} bider 8y-2.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

Ordeztu \frac{-8y+2}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+8y=26).

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

Egin -5 bider \frac{-8y+2}{7}.

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

Gehitu \frac{40y}{7} eta 8y.

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

Gehitu \frac{10}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{96}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

Egin -\frac{8}{7} bider 2.

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

Gehitu \frac{2}{7} eta -\frac{16}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

-7x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

Sinplifikatu.

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

Egin 35x-56y=-182 ken 35x+40y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

Gehitu 35x eta -35x. Sinplifikatu egiten dira 35x eta -35x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$40y+56y=10+182$$

Gehitu 40y eta 56y.

$$96y=10+182$$

Gehitu 10 eta 182.

$$96y=192$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 96 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -5x+8y=26 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+8\times 2=26$$

Egin 8 bider 2.

$$-5x+16=26$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=2$$