Resolver {l}{-6x+6y=-6}{2x-y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 6 y = - 6 } \\ { 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-5$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-6x+6y=-6$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=-6y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-6y-6\right)$$

Egin -\frac{1}{6} bider -6y-6.

$$x=y+1$$

Ordeztu y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=-4).

$$2\left(y+1\right)-y=-4$$

Egin 2 bider y+1.

$$2y+2-y=-4$$

Gehitu 2y eta -y.

$$y+2=-4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6+1$$

Gehitu 1 eta -6.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-6\left(-1\right)-6\times 2}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-6\times 2}\\-\frac{2}{-6\left(-1\right)-6\times 2}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&1\\\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-4\\\frac{1}{3}\left(-6\right)-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-5,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

-6x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-6\right)x+2\times 6y=2\left(-6\right),-6\times 2x-6\left(-1\right)y=-6\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$-12x+12y=-12,-12x+6y=24$$

Egin -12x+6y=24 ken -12x+12y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x+12y-6y=-12-24$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-6y=-12-24$$

Gehitu 12y eta -6y.

$$6y=-12-24$$

Gehitu -12 eta -24.

$$6y=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin 2x-y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-\left(-6\right)=-4$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-6$$