Resolver {l}{-6x+10y=28}{7x-10y=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 10 y = 28 } \\ { 7 x - 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-6x+10y=28$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=-10y+28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-10y+28\right)$$

Egin -\frac{1}{6} bider -10y+28.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}$$

Ordeztu \frac{5y-14}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-10y=-21).

$$7\left(\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}\right)-10y=-21$$

Egin 7 bider \frac{5y-14}{3}.

$$\frac{35}{3}y-\frac{98}{3}-10y=-21$$

Gehitu \frac{35y}{3} eta -10y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{98}{3}=-21$$

Gehitu \frac{98}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\times 7-\frac{14}{3}$$

Egin \frac{5}{3} bider 7.

$$x=\frac{35-14}{3}$$

Gehitu -\frac{14}{3} eta \frac{35}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\\-\frac{7}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{6}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{7}{10}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28-21\\\frac{7}{10}\times 28+\frac{3}{5}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

-6x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\left(-6\right)x+7\times 10y=7\times 28,-6\times 7x-6\left(-10\right)y=-6\left(-21\right)$$

Sinplifikatu.

$$-42x+70y=196,-42x+60y=126$$

Egin -42x+60y=126 ken -42x+70y=196 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-42x+42x+70y-60y=196-126$$

Gehitu -42x eta 42x. Sinplifikatu egiten dira -42x eta 42x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$70y-60y=196-126$$

Gehitu 70y eta -60y.

$$10y=196-126$$

Gehitu 196 eta -126.

$$10y=70$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin 7x-10y=-21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-10\times 7=-21$$

Egin -10 bider 7.

$$7x-70=-21$$

Gehitu 70 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=49$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=7$$