Resolver {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=4$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5y+8x=-18$$

Egin ken 8x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-8x-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -8x-18.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{8x+18}{5} balioa y balioarekin beste ekuazioan (5y+2x=58).

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Egin 5 bider \frac{8x+18}{5}.

$$8x+18+2x=58$$

Gehitu 8x eta 2x.

$$10x+18=58$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

Egin \frac{8}{5} bider 4.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

Gehitu \frac{18}{5} eta \frac{32}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=10,x=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=10,x=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

-5y eta 5y berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

Sinplifikatu.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

Egin -25y-10x=-290 ken -25y+40x=-90 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

Gehitu -25y eta 25y. Sinplifikatu egiten dira -25y eta 25y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$40x+10x=-90+290$$

Gehitu 40x eta 10x.

$$50x=-90+290$$

Gehitu -90 eta 290.

$$50x=200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin 5y+2x=58 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5y+2\times 4=58$$

Egin 2 bider 4.

$$5y+8=58$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=10,x=4$$