Resolver {l}{-5x-8y=8}{-5x+6y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 8 y = 8 } \\ { - 5 x + 6 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x-8y=8$$

Gehitu 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=8y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(8y+8\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider 8+8y.

$$x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}$$

Ordeztu \frac{-8y-8}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+6y=-6).

$$-5\left(-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}\right)+6y=-6$$

Egin -5 bider \frac{-8y-8}{5}.

$$8y+8+6y=-6$$

Gehitu 8y eta 6y.

$$14y+8=-6$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$14y=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{8}{5}\left(-1\right)-\frac{8}{5}$$

Egin -\frac{8}{5} bider -1.

$$x=\frac{8-8}{5}$$

Gehitu -\frac{8}{5} eta \frac{8}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}&-\frac{4}{35}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}\times 8-\frac{4}{35}\left(-6\right)\\-\frac{1}{14}\times 8+\frac{1}{14}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Egin -5x+6y=-6 ken -5x-8y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5x+5x-8y-6y=8+6$$

Gehitu -5x eta 5x. Sinplifikatu egiten dira -5x eta 5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-6y=8+6$$

Gehitu -8y eta -6y.

$$-14y=8+6$$

Gehitu 8 eta 6.

$$-14y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin -5x+6y=-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+6\left(-1\right)=-6$$

Egin 6 bider -1.

$$-5x-6=-6$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-1$$