Resolver {l}{-5x+5y=-10}{-2x+5y=-16}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 10 } \\ { - 2 x + 5 y = - 16 } \\ \hline \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+5y=-10$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-5y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-10\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -5y-10.

$$x=y+2$$

Ordeztu y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+5y=-16).

$$-2\left(y+2\right)+5y=-16$$

Egin -2 bider y+2.

$$-2y-4+5y=-16$$

Gehitu -2y eta 5y.

$$3y-4=-16$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4+2$$

Gehitu 2 eta -4.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{2}{15}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Egin -2x+5y=-16 ken -5x+5y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5x+2x+5y-5y=-10+16$$

Gehitu 5y eta -5y. Sinplifikatu egiten dira 5y eta -5y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5x+2x=-10+16$$

Gehitu -5x eta 2x.

$$-3x=-10+16$$

Gehitu -10 eta 16.

$$-3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-2$$

Ordeztu -2 x balioarekin -2x+5y=-16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2\left(-2\right)+5y=-16$$

Egin -2 bider -2.

$$4+5y=-16$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-4$$