Resolver {l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+13y=-7$$

Egin ken 13y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-13y-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -13y-7.

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{13y+7}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+4y=24).

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

Egin 5 bider \frac{13y+7}{5}.

$$13y+7+4y=24$$

Gehitu 13y eta 4y.

$$17y+7=24$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$17y=17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{13+7}{5}$$

Gehitu \frac{7}{5} eta \frac{13}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

-5x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

Sinplifikatu.

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

Egin -25x-20y=-120 ken -25x+65y=-35 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

Gehitu -25x eta 25x. Sinplifikatu egiten dira -25x eta 25x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$65y+20y=-35+120$$

Gehitu 65y eta 20y.

$$85y=-35+120$$

Gehitu -35 eta 120.

$$85y=85$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 85 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 5x+4y=24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+4=24$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=1$$