Resolver {l}{-5x+10y=15}{-5x+2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 10 y = 15 } \\ { - 5 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+10y=15$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-10y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-10y+15\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -10y+15.

$$x=2y-3$$

Ordeztu 2y-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+2y=-1).

$$-5\left(2y-3\right)+2y=-1$$

Egin -5 bider 2y-3.

$$-10y+15+2y=-1$$

Gehitu -10y eta 2y.

$$-8y+15=-1$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=2y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times 2-3$$

Egin 2 bider 2.

$$x=4-3$$

Gehitu -3 eta 4.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 15-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Egin -5x+2y=-1 ken -5x+10y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5x+5x+10y-2y=15+1$$

Gehitu -5x eta 5x. Sinplifikatu egiten dira -5x eta 5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-2y=15+1$$

Gehitu 10y eta -2y.

$$8y=15+1$$

Gehitu 15 eta 1.

$$8y=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -5x+2y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+2\times 2=-1$$

Egin 2 bider 2.

$$-5x+4=-1$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$