Resolver {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -5 eta x-y biderkatzeko.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y lortzeko, konbinatu 5y eta 3y.

$$-5x+8y=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x lortzeko, konbinatu -5x eta -2x.

$$-7x+8y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 6x+7 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2y-6x-7=-2$$

Gehitu 7 bi aldeetan.

$$2y-6x=-2+7$$

5 lortzeko, gehitu -2 eta 7.

$$2y-6x=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-7x+8y=0$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-8y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

Egin -\frac{1}{7} bider -8y.

$$x=\frac{8}{7}y$$

Ordeztu \frac{8y}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-6x+2y=5).

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

Egin -6 bider \frac{8y}{7}.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

Gehitu -\frac{48y}{7} eta 2y.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{34}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Ordeztu -\frac{35}{34} y balioarekin x=\frac{8}{7}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

Egin \frac{8}{7} bider -\frac{35}{34}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -5 eta x-y biderkatzeko.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y lortzeko, konbinatu 5y eta 3y.

$$-5x+8y=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x lortzeko, konbinatu -5x eta -2x.

$$-7x+8y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 6x+7 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2y-6x-7=-2$$

Gehitu 7 bi aldeetan.

$$2y-6x=-2+7$$

5 lortzeko, gehitu -2 eta 7.

$$2y-6x=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -5 eta x-y biderkatzeko.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y lortzeko, konbinatu 5y eta 3y.

$$-5x+8y=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x lortzeko, konbinatu -5x eta -2x.

$$-7x+8y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 6x+7 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2y-6x-7=-2$$

Gehitu 7 bi aldeetan.

$$2y-6x=-2+7$$

5 lortzeko, gehitu -2 eta 7.

$$2y-6x=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x eta -6x berdintzeko, biderkatu -6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

Sinplifikatu.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

Egin 42x-14y=-35 ken 42x-48y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

Gehitu 42x eta -42x. Sinplifikatu egiten dira 42x eta -42x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-48y+14y=35$$

Gehitu -48y eta 14y.

$$-34y=35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -34 balioarekin.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Ordeztu -\frac{35}{34} y balioarekin -6x+2y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

Egin 2 bider -\frac{35}{34}.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

Gehitu \frac{35}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$