Resolver {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x-10y=20$$

Gehitu 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=10y+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider 20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Ordeztu -\frac{5y}{2}-5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+10y=20).

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

Egin 8 bider -\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

Gehitu -20y eta 10y.

$$-10y-40=20$$

Gehitu 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10y=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=-\frac{5}{2}y-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

Egin -\frac{5}{2} bider -6.

$$x=15-5$$

Gehitu -5 eta 15.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

-4x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

Sinplifikatu.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

Egin -32x-40y=-80 ken -32x-80y=160 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

Gehitu -32x eta 32x. Sinplifikatu egiten dira -32x eta 32x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-80y+40y=160+80$$

Gehitu -80y eta 40y.

$$-40y=160+80$$

Gehitu 160 eta 80.

$$-40y=240$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -40 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin 8x+10y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

Egin 10 bider -6.

$$8x-60=20$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-6$$