Resolver {l}{-4x+y=6}{-5x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 6 } \\ { - 5 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x+y=6$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+6\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider -y+6.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{y}{4}-\frac{3}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x-y=21).

$$-5\left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}\right)-y=21$$

Egin -5 bider \frac{y}{4}-\frac{3}{2}.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}-y=21$$

Gehitu -\frac{5y}{4} eta -y.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{4}y=\frac{27}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{3}{2}$$

Egin \frac{1}{4} bider -6.

$$x=\frac{-3-3}{2}$$

Gehitu -\frac{3}{2} eta -\frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 21\\\frac{5}{9}\times 6-\frac{4}{9}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

-4x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\left(-4\right)x-5y=-5\times 6,-4\left(-5\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 21$$

Sinplifikatu.

$$20x-5y=-30,20x+4y=-84$$

Egin 20x+4y=-84 ken 20x-5y=-30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x-5y-4y=-30+84$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y-4y=-30+84$$

Gehitu -5y eta -4y.

$$-9y=-30+84$$

Gehitu -30 eta 84.

$$-9y=54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin -5x-y=21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x-\left(-6\right)=21$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-6$$