Resolver {l}{-4x+7y+5=0}{x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 7 y + 5 = 0 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x+7y+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x+7y=-5$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-7y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-7y-5\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider -7y-5.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{7y+5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-3y=-5).

$$\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}-3y=-5$$

Gehitu \frac{7y}{4} eta -3y.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=-5$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{4}y=-\frac{25}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

Egin \frac{7}{4} bider 5.

$$x=\frac{35+5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{35}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{7}{-4\left(-3\right)-7}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-5\right)-\frac{7}{5}\left(-5\right)\\-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{4}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

-4x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4x+7y+5=0,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$-4x+7y+5=0,-4x+12y=20$$

Egin -4x+12y=20 ken -4x+7y+5=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x+7y-12y+5=-20$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y-12y+5=-20$$

Gehitu 7y eta -12y.

$$-5y+5=-20$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x-3y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3\times 5=-5$$

Egin -3 bider 5.

$$x-15=-5$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=5$$