Resolver {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x+5y=24$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-5y+24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider -5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

Ordeztu \frac{5y}{4}-6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+y=0).

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

Egin -2 bider \frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

Gehitu -\frac{5y}{2} eta y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=\frac{5}{4}y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

Egin \frac{5}{4} bider 8.

$$x=10-6$$

Gehitu -6 eta 10.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

-4x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

Sinplifikatu.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

Egin 8x-4y=0 ken 8x-10y=-48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y+4y=-48$$

Gehitu -10y eta 4y.

$$-6y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin -2x+y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=8$$