Resolver {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x lortzeko, konbinatu -3x eta -2x.

$$-5x-y=-1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 2x+5y biderkatzeko.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x lortzeko, konbinatu -6x eta -x.

$$-7x-15y=y-30$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y lortzeko, konbinatu -15y eta -y.

$$-7x-16y=-30$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x-y=-1$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{-y+1}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x-16y=-30).

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

Egin -7 bider \frac{-y+1}{5}.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

Gehitu \frac{7y}{5} eta -16y.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

Gehitu \frac{7}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{73}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{143}{73}$$

Ordeztu \frac{143}{73} y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider \frac{143}{73}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

Gehitu \frac{1}{5} eta -\frac{143}{365} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x lortzeko, konbinatu -3x eta -2x.

$$-5x-y=-1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 2x+5y biderkatzeko.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x lortzeko, konbinatu -6x eta -x.

$$-7x-15y=y-30$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y lortzeko, konbinatu -15y eta -y.

$$-7x-16y=-30$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x lortzeko, konbinatu -3x eta -2x.

$$-5x-y=-1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 2x+5y biderkatzeko.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x lortzeko, konbinatu -6x eta -x.

$$-7x-15y=y-30$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y lortzeko, konbinatu -15y eta -y.

$$-7x-16y=-30$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

Sinplifikatu.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

Egin 35x+80y=150 ken 35x+7y=7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

Gehitu 35x eta -35x. Sinplifikatu egiten dira 35x eta -35x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y-80y=7-150$$

Gehitu 7y eta -80y.

$$-73y=7-150$$

Gehitu 7 eta -150.

$$-73y=-143$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -73 balioarekin.

$$y=\frac{143}{73}$$

Ordeztu \frac{143}{73} y balioarekin -7x-16y=-30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

Egin -16 bider \frac{143}{73}.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

Gehitu \frac{2288}{73} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$