Resolver {l}{-3x+y=1}{-3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 1 } \\ { - 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-3x+y=1$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Egin -\frac{1}{3} bider -y+1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-1+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+2y=5).

$$-3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=5$$

Egin -3 bider \frac{-1+y}{3}.

$$-y+1+2y=5$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y+1=5$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider 4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Egin -3x+2y=5 ken -3x+y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x+y-2y=1-5$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y=1-5$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=1-5$$

Gehitu 1 eta -5.

$$-y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin -3x+2y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+2\times 4=5$$

Egin 2 bider 4.

$$-3x+8=5$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$