Resolver {l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-3x+3y=-9$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3y-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

Egin -\frac{1}{3} bider -3y-9.

$$x=y+3$$

Ordeztu y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-y=-12).

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

Egin 6 bider y+3.

$$6y+18-y=-12$$

Gehitu 6y eta -y.

$$5y+18=-12$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6+3$$

Gehitu 3 eta -6.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

-3x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

Sinplifikatu.

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

Egin -18x+3y=36 ken -18x+18y=-54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

Gehitu -18x eta 18x. Sinplifikatu egiten dira -18x eta 18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-3y=-54-36$$

Gehitu 18y eta -3y.

$$15y=-54-36$$

Gehitu -54 eta -36.

$$15y=-90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin 6x-y=-12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-6$$