Resolver {l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-3x+3y=-3$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

Egin -\frac{1}{3} bider -3y-3.

$$x=y+1$$

Ordeztu y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-9y=-15).

$$y+1-9y=-15$$

Gehitu y eta -9y.

$$-8y+1=-15$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2+1$$

Gehitu 1 eta 2.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

-3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

Sinplifikatu.

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

Egin -3x+27y=45 ken -3x+3y=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-27y=-3-45$$

Gehitu 3y eta -27y.

$$-24y=-3-45$$

Gehitu -3 eta -45.

$$-24y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x-9y=-15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-9\times 2=-15$$

Egin -9 bider 2.

$$x-18=-15$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$